91. - Druhá kozmická rýchlosť

91. Teleso bolo vrhnuté zo zemského povrchu zvisle nahor rýchlosťou v₀. Do akej výšky vystúpi a aká by musela byť minimálna začiatočná rýchlosť v_k, aby teleso nespadlo späť na Zem? (Odpor vzduchu zanedbajte!)

v₀

h = ?, v_k = ?

Na vyriešenie tohto príkladu použijeme zákon o zachovaní mechanickej energie. Celková energia telesa v mieste vrhu je daná kinetickou energiou telesa. V maximálnej výške h, ktorú teleso dosiahne, je zase celková energia daná potenciálnou energiou telesa. Ak uvažujeme potenciálnu energiu telesa vzhľadom na zemský povrch, môžeme písať:

E_k = E_p

(1)

1/2 mv₀² = - k mM (1 / (R + h) – 1 / R)

1/2 mv₀² = - k mM (-h) / ((R + h)R) ,

kde m je hmotnosť telesa, v₀ je rýchlosť telesa, M je hmotnosť Zeme, R je polomer Zeme, h je výška, do ktorej teleso vystúpi a k je gravitačná konštanta.

Keďže s istou presnosťou môžeme písať

g = k M / R² ,

(2)

potom využitím tohto vzťahu dostaneme:

1/2 mv₀² = mgRh / (R + h) .

Odtiaľ pre hľadané h vyplýva:

h = v₀²R / (2gR - v₀²) .

Aby sa teleso nevrátilo späť na Zem, muselo by pri počiatočnej rýchlosti v_k dosiahnúť nekonečnú výšku h = ∞ (rešpektujeme len vplyv gravitačného poľa ), t. j.:

2gR - v_k² = 0 ,

takže začiatočná rýchlosť v_k musí mať minimálne hodnotu:

v_k = (2gR)^1/2

v_k = 11 186 m/s .

Teleso vystúpi do výšky h = v₀²R / (2gR - v₀²) . Aby teleso nespadlo na Zem, muselo by sa pohybovať minimálne druhou kozmickou rýchlosťou, t. j. 11 200 m/s.

Horizontálna doska

Stavová rovnica ideálneho plynu

Relativistický elektrón